موتور مثلث در شش ضلعی در دایره اشکال هندسی مزارع

نمای خارجی یک مثلث A B C سه مثلث متساوی الاضلاع ABC′,BCA′ و CAB′ساخته می شوند ثابت کنید که سانتروئیدهای این مثلث ها رئوس مثلث متساوی الاضلاع هستند.
من تصویر زیر را حاشیه نویسی کردم. K مثلثی است که با آن شروع می کنیم ، K1 ، K2 ، K3 سه مثلث متساوی الاضلاع است که در اطراف آن ساخته شده است ، و مثلث سبز جامد مثلثی است که دارای سه مرکز K1 ، K2 ، K3 به عنوان راس است
اکنون ایده این است که خط سبز متصل به مرکز مرکز K1 و مرکز مرکز K2 دارای همان طول خط سبز نقطه ای است که به مرکز مرکز K2 و K1 متصل می شود. این مورد به این دلیل است که دو خط دقیقاً به همان شکل ساخته شده اند ، فقط همینK1′ جای می گیرد K1 و K3 'جای K3 را می گیرد.
همین استدلال برای همه خطوط سبز نقطه چین دیگر کار می کند ، که نشان می دهد این خطوط یک شش ضلعی متساوی الاضلاع را تشکیل می دهند . با رئوس باقیمانده شش ضلعی تماس بگیریدK2′,K1′′, و K2′′، به طوری که رئوس شش ضلعی خوانده می شود K1K2K1′K2′K1′′K2′′ به ترتیب عقربه های ساعت
اکنون زوایای این شش ضلعی را در نظر بگیرید. زاویه ها درK1، K1′، و K1′′از نظر ساخت برابر هستند. زاویه ها درK2، K2′، و K2′′همچنین از نظر ساخت برابر هستند. سپس توجه کنید که این شش ضلعی ، هنگام ترجمه (اما نه چرخانده شده!) ، صفحه را به روشی که در نمودار نشان داده شده کاشی می کند. بنابراین ، نگاه به راسK1′ جایی که سه شش ضلعی به هم می رسند ، آن زاویه ها را داریم K1، K1′، و K1′′ باید تا اضافه شود 360∘. بنابراین هر یک برابر است با120∘. نتیجه می شود کهK2، K2′، و K2′′ همچنین برابر هستند 120∘، بنابراین شش ضلعی منظم است.
از آنجا که شش ضلعی منظم است ، روی یک دایره قرار می گیرد. از آنجا کهK1K3=K1′K3=K1′′K3 (با ساخت و ساز) ، مرکز دایره است K3. سرانجام ، برای یک شش ضلعی منظم ، ضلع ها دارای طول مشابه شعاع هستند ، بنابراین نتیجه می گیریم
K1K3=K2K3=K1K2
که نتیجه مطلوب است.