کار - کاربرد اصل انرژی در جریان سیال

اصل کار - انرژی بیان می کند که کار انجام شده توسط نیروی خالص وارد بر جسم برابر است با تغییر در انرژی جنبشی جسم ما در مورد مکانیک پیوسته صحبت می کنیم. این اصل معمولاً در مکانیک اجسام جامد مطرح می شود. برای توصیف حرکت جسم کافی است بدانیم مرکز جرم جسم در زمان و مکان چگونه حرکت می کند. برای مثال، می‌توان نتیجه گرفت که جسم شتاب می‌گیرد، اگر مرکز جرم آن در دو نقطه از زمان سرعت متفاوتی داشته باشد.
به دلایلی که توضیح خواهم داد، مطمئن نیستم که چگونه این اصل را به اندازه کافی در مورد مایعات اعمال کنم.
سیال در لوله را مانند یک طرح در نظر بگیرید.تصویر
هنگامی که مایع شروع به ورود به بخش باریکتر لوله می کند، شتاب می گیرد. قانون دوم نیوتن بیان می کند که در این صورت نیروی حاصل باید روی سیال وارد شود. می بینیم که این نیرو از اختلاف فشار سیال اطراف یا گرادیان فشار ناشی می شود. اگر مقداری حجم سیال بین دو مقطع با مساحت غیر مساوی در ناحیه باریک لوله (حجم کنترل) بگیریم، می‌توانیم نمودار جسم آزاد را رسم کنیم تا تمام نیروهای وارد بر آن حجم کنترل را نشان دهیم.
انجام این کار با مشکل همراه است زیرا مایع مانند جسم جامد حرکت نمی کند، جریان دارد. به نظر می رسد مفهوم کشیدن تمام نیروهای وارد بر حجم کنترل در سیالات معنی ندارد زیرا حجم کنترل مانند جسم جامد در فضا و زمان حرکت نمی کند. مرکز جرم آن مانند اجسام جامد در فضا و زمان حرکت نمی کند، بلکه سیال در مقاطع یا نقاط مختلف لوله سرعت متفاوتی دارد.
اگر این درست است، چگونه باید قانون دوم نیوتن یا اصل کار - انرژی را برای سیالات اعمال کنیم؟ روی کدام عنصر سیال یا حجم کنترل باید نمودار نیرو رسم کنیم و قانون دوم نیوتن را اعمال کنیم؟ من فکر می‌کنم احتمالاً باید یک عنصر حجمی دیفرانسیل را انتخاب کنیم و اگر بخواهیم بدانیم سرعت آن بین دو مقطع چقدر تغییر می‌کند (برای سیال غیر لزج)، باید انتگرال خط گرادیان فشار را در امتداد مسیر جریان یا عنصر سیال محاسبه کنیم. . معمولاً گرادیان فشار ثابت است، بنابراین انتگرال خط برابر است با گرادیان فشار ضربدر فاصله بین دو مقطع.
چیزی که برای من عجیب است این است که معادله/اصل برنولی معمولاً از اصل کار - انرژی به دست می آید که در آن نمودارهای نیرو برای حجم سیال با اندازه محدود ترسیم می شود. با توجه به آنچه در بالا گفتم، این اشتقاق به نظر من اشتباه است و توازن نیرو در سیالات فقط برای عناصر حجم دیفرانسیل روی خط جریان خاص قابل انجام است. موافقید؟
مشکل استدلال شما این است که فرض می کنید سیال در ولوم کنترل ثابت است. در واقع، شما باید سیستم بسته تشکیل شده توسط سیال را در نظر بگیرید که با حجم کنترل در زمان t مطابقت دارد. بین t و t+dt، این سیستم بسته تکامل می‌یابد، انرژی جنبشی آن تغییر می‌کند و مشکلی برای ایجاد تعادل انرژی وجود ندارد.
معادله برنولی پایستگی انرژی و سیال بدون اصطکاک را فرض می کند (که هرگز درست نیست). این در بهترین حالت یک تقریب اولیه است. فرض بر این است که نیروها (مرتبط با فشار) روی پیستون‌هایی (واقعی یا تصوری) که با سیال حرکت می‌کنند، عمل می‌کنند. در یک سیال واقعی که در یک لوله جریان دارد، یک گرادیان سرعت شعاعی و کاهش فشار به دلیل اصطکاک با دیواره‌های لوله وجود دارد.
من در اینجا فرآیندی را که معمولاً هنگام برخورد با معادلات تعادل برای سیالات (یا به طور کلی پیوسته) انجام می شود، فهرست می کنم.
تعادل انتگرال، توصیف لاگرانژی: شما معمولاً از ترازهای انتگرال برای یک حجم نزدیک شروع می‌کنید، دقیقاً حجم مادی سیال که جرم را از طریق مرزهای خود مبادله نمی‌کند، و در طول تکاملش توسط همان ذرات سیال تشکیل شده است.
تعادل انتگرال، توصیف اویلر، با استفاده از قضیه حمل و نقل رینولدز، معادلات یک حجم کنترل ثابت را دریافت می کنید.
معادلات تعادل دیفرانسیل: با فرض اینکه میدان ها منظم هستند و هیچ ناپیوستگی در حوزه رخ نمی دهد، می توانید شکل دیفرانسیل معادلات را با استفاده از قضیه گاوس و قضیه واگرایی بدست آورید.
در صورت نیاز، سعی خواهم کرد طرحی از استخراج قضیه برنولی از شکل دیفرانسیل معادلات تعادل را به شما ارائه دهم. لطفاً توجه داشته باشید که قضایای برنولی قضایایی هستند، بنابراین تحت برخی مفروضات معتبر هستند (به طور کلی بقای انرژی برای جریان های تراکم پذیر، بدون ویسکوزیته و بدون گردابی برای جریان های تراکم ناپذیر)