هر مثلثی متساوی الساقین است

هر مثلثی متساوی الساقین است!
و البته این ادعا را ثابت می‌کنیم!
مثلث ABC را در نظر بگیرید. نیمساز زاویه‌ی A و هم چنین عمود منصف ضلع BC را رسم می‌کنیم. این دو هم را در نقطه‌ای مثل O قطع می‌کنند.مثلث متساوی الساقین
برای اقامه‌ی برهان لازم است که از نقطه O به اضلاع AC و AB عمود رسم کنیم. یعنی
مثلث متساوی الساقین
ادعای اول) AR=AQ
اثبات : مثلث‌های AOQ و AOR را در نظر بگیرید. )در این مثلث‌ها وتر ها برابر هستند یعنی AO=AO و AO وتر هر دو مثلث است.
از طرفی راویه‌ی OAQ و زاویه‌ی OAR برابر هستند چرا که OA نیمساز است.
پس بنابر حالت وتر و یک زاویه ، این دو مثلث قائم الزاویه ( یعنی مثلث‌های AOQ و AOR ) هم نهشت هستند که نتیجه می‌شود اینکه AR=AQ
ادعای دوم) BR=QC
اثبات : در این شکل از آنجا که عمود منصف رسم شده است داریم که BO=OC
از طرفی در ادعای اول ثابت شد که OQ=OR
بنابراین می‌توان گفت که مثلث‌های قائم الزاویه‌ی BRO و OQC به حالت وتر و یک ضلع با همدگیر هم نهشت هستتند.
که این موضوع نتیجه می‌دهد که BR=QC
مثلث متساوی الساقین
بنابراین ثابت کردیم که
AR=AQ و هم چنین QC=RB با جمع کردن طرفین این دو تساوی داریم که
AR+RB=AQ+QC
AB=AC
پس مثلث ABC حتماً متساوی الساقین است



صد البته که این اثبات اشکالی دارد! چرا که بدیهی است که هر مثلثی متساوی الساقین نیست ولی ما این را ظاهراً برای هر مثلثی ثابت کردیم!