نیروی قید

در بهینه سازی ریاضی ، روش ضرایب لاگرانژ یک استراتژی برای یافتن حداکثر و حداقل های محلی یک تابع است که تحت محدودیت های برابری قرار دارد (یعنی با این شرط که یک یا چند معادله دقیقاً با مقادیر انتخاب شده متغیرها من
f
(
x
)
که تحت محدودیت
g
(
x
)
=
0
قرار دارداینطور میگم
L
(
x
,
λ
)
=
f
(
x
)
−
λ
g
(
x
)

حالا اگه من چند قید داشته باشم ضرایب لاگرانژ: بیش از یک محدودیت
جایی که بیش از یک محدودیت داریم ، گسترش دهم. به عنوان مثال ما سعی می کنیم f (x) را با توجه به g (x) = 0 و h (x) = 0 به حداکثر برسانیم. تا آنجا که من می بینم ، کاری که باید در این مورد انجام دهیم ساختن تابع لاگرانژ است
L
(
x
,
α
,
β
)
=
f
(
x
)
+
α
g
(
x
)
+
β
h
(
x
)

و سپس سعی کنید این تابع را با توجه به محدودیت های g (x) = 0 و h (x) = 0 به ماکسیمم و مینیمم برسانم
برای توجیه این شکل از تابع لاگرانژ
L
(
x
,
α
,
β
)
، به موارد زیر فکر کردم: فرض کنید که یک نقطه
x
′
داریم که
g
(
x
′
)
=
0
و
h
(
x
′
)
=
0
را برآورده می کند. اگر این نقطه در هر دو محدودیت g (x) و h (x) یک نقطه افراطی باشد ، این چنین است
∇
f
(
x
′
)
=
λ
1
∇
g
(
x
′
)

∇
f
(
x
′
)
=
λ
2
∇
h
(
x
′
)

. ما می توانیم اینها را در یک معادله واحد به صورت زیر قرار دهیم:
∇
f
(
x
′
)
=
λ
1
∇
g
(
x
′
)
+
λ
2
∇
h
(
x
′
)

.

این تا حدی
L
(
x
,
α
,
β
)
=
f
(
x
)
+
α
g
(
x
)
+
β
h
(
x
)
را برای من توجیه می کند:
∇
x
L
(
x
,
α
,
β
)
را محاسبه کنید ، آن را برابر با صفر قرار دهید و حل کنید. با استفاده از g (x) = 0 و h (x) = 0 نیز استفاده کنید.